The name of the ship was the Billy of Tea
Имя его было Котелок с Чаем*

She had not been two weeks from shore
И двух недель не прошло, как он был в море
в русском языке корабль мужского рода, тоже самое с китом, в песне он she
"Thar she blows" возглас вперед смотрящего при обнаружении фонтана кита
"O blow, my bully boys, blow" вполне возможно как фонтан кита, парни, фонтан, или ругательство про ветер

Before the boat had hit the water
The whale’s tail came up and caught her
если придерживаться общего смысла перевода то
Не успели спустить лодку на воду
Как поднялся хвост кита и разбил ее
но как вариант, her здесь не лодка, а кит, и капитан(из прошлого куплета) поймал его,

The Wellerman makes his regular call
Wellerman продолжает свои регулярные поставки
"call" у моряков обозначает заход, т.е. Wellerman продолжает поставлять чай, сахар и ром
не понятно, если это судно почему здесь HIS, а не HER, скорее это не одно судно, а фирма шипчандлер

Спасибо за песню и за перевод!